วันพุธที่ 8 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้
ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 เช่น
2x+3 = 0
2a+1 = 0
สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1)สมบัติสมมาตร (symmetric property)
ถ้า a = b แล้ว b = a
2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)
ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย(distributiveproperty)
a(b+c) = ab + ac

4) สมบัติการบวก(additiveproperty)
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
หรือ a - c = b - c

5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)
ถ้า a = b แล้ว
a x c = b x c
หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0
วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวทำได้ดั้งนี้
1) จัดสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยให้ตัวแปรอยู่ข้างหนึ่ง และตัวคงที่อยู่อีกข้างหนึ่ง โดยใช้คุณสมบัติการบวก

(2) ถ้าสมการอยู่ในรูปของเศษส่วน ให้พยายามทำส่วนให้หมด โดยนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทุกพจน์

(3) ถ้าสมการอยู่ในรูปที่มีวงเล็บ ให้จัดการถอดวงเล็บออกก่อนโดยใช้สมบัติการแจกแจง

(4) ดำเนินการแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง หรือจะทำอย่างรวดเร็วโดยการย้ายข้าง (การย้ายให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวที่ย้าย จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็นหาร จากหารเป็นคูณ โดยจะย้าย
จากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้ายก็ได้ ซึ่งการย้ายข้างก็คือ ก็คือ การใช้สมบัติเท่ากันของจำนวนจริงนั้นเอง
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟเส้นตรง
กราฟเส้นตรง
สมการกราฟเส้นตรงจะอยู่ในรูปต่าง ๆ ดังนี้
1. y = mx + c เป็นสมการเส้นตรงในรูปความชันที่มีความชัน
เท่ากับ m และระยะตัดแกน Y เท่ากับ c
ตัวอย่าง
y = 3x + 2 y = 2x - 5
y = x + 7
y = - x - 8
2. Ax + By + C = 0 เป็นสมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
ตัวอย่าง
เช่น x + 2y + 5 = 0
3x - 4y - 12 = 0
8x + 7y - 20 = 0
เราสามารถเปลี่ยนสมการเส้นตรงในรูปทั่วไปให้ในรูปความชันได้ ดังนี้
Ax + By + C = 0
By = - Ax - C
Y = - X - (นำ B หารตลอด)
เมื่อเทียบ y = mx + c
จะได้ m = - และ C = -
3. y = c เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะทาง C หน่วย
ตัวอย่าง
Y = 2 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่เหนือแกน X = 2 หน่วย
Y = -5 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และ
อยู่ใต้แกน X = 5 หน่วย
4. X = C เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ 5 หน่วย |C| หน่วย
ตัวอย่าง
X = 3 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่าง
จาก แกน Y ไปทางขวา 3 หน่วย
X = -4 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และห่างอยู่
จาก แกน Y ไปทางซ้าย 4 หน่วย
---------------------------------------------------------------------------------
การเขียนกราฟแสดงเส้นตรง
การเขียนกราฟแสดงเส้นตรงเราอาจกำหนดจุด 2 จุด จากสมการ
ที่กำหนดให้แล้วลากเส้นผ่านจุดทั้งสองนั้น เพื่อป้องกันความผิดพลาดอาจกำหนดจุดมากกว่า 2 จุดก็ได้ ส่วนมากนิยมหาจุดที่กราฟตัดแกน X และแกน Y กราฟตัดแกน X เมื่อค่า y = 0 กราฟตัดแกน y เมื่อค่า X = 0
สมการที่อยู่ในรูประยะตัดแกน X และแกน Y คือ + = 1
เมื่อ a เป็นระยะตัดแกน X และ b เป็นระยะตัดแกน Y
จากสมการดังกล่าวเราได้จุดที่กราฟตัดแกน X คือ ( a , 0 ) และกราฟตัดแกน Y ที่จุด (0 , b)
ข้อสังเกต
ถ้าต้องการตรวจสอบกราฟที่เขียนมาถูกต้องหรือไม่ ให้สมมุติค่า X แล้วแทนในสมการ y = 2x - 5 เพื่อหาค่า y ดังนี้
ให้ x = 3 , y = 2(3) - 5 = 1
ดังนั้น จุด (3 , 1) จะอยู่บนเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น y = 2x - 5
---------------------------------------------------------------------------------
ความชัน (Slope) ของเส้นตรง
ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = mx + c คือ m
ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น Ax + By + C = 0 คือ -
ตัวอย่าง
ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = 2x - 3 คือ 2
ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น 3x - 2y + 5 = 0 คือ =
ข้อสังเกต
1. เส้นตรง y = 3x - 5 มีความชันเป็นบวก กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
2. เส้นตรง 3x + 4y - 12 = 0 มีความชันเป็นลบ กราฟจะทำมุมป้านกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
3. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะมีความชันเป็นศูนย์
4. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y เส้นตรงนั้นไม่มีความชัน
---------------------------------------------------------------------------------
กราฟเส้นตรงกับการนำไปใช้
การใช้กราฟเส้นตรงแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองชุดเป็นการบอกลักษณะของ ข้อมูลได้อย่างรวดเร็วและชัดเจน ถ้าเราทราบปริมาณหนึ่ง จะหาค่าอีกปริมาณหนึ่งได้
---------------------------------------------------------------------------------
กราฟเส้นตรง
กราฟเส้นตรงเป็นกราฟที่เขียนจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปทั่วไป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A , B และ C เป็นค่าคงตัว ที่ A , B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และจากรูปทั่วไปสมการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปมาตราฐานคือ
y = mx + c m และ c เป็นค่าคงตัว
การจัดสมการจากรูปทั่วไปเป็นมาตราฐานสามารถจัดได้กับสมการเชิงเส้นทุกสมการ และค่า m และ C จะทำให้บอกลักษณะของกราฟเส้นตรง
ถ้าความชันเป็น+ กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x ถ้าความชันเป็น- กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x
ที่มา: blog.school.net.th/blogs/Rujira106.php/2009/02/12/-114

เซต

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ
หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก
สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { a, e, i, o, u}
C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
N แทนเซตของจำนวนนับ R แทนเซตของจำนวนจริง
เซตจำกัด
บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก
B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก
เซตอนันต์
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
เซตที่เท่ากัน
เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่างเช่่น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
A = B
เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø
B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด
เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

สับเซต
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B
ตัวอย่างที่ 1 A = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5}
A ⊂ B
ตัวอย่างที่ 2 C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
C D
ตัวอย่างที่ 3 E = { 0,1,2 }
F = { 2,1,0 }
E ⊂ F และ F ⊂ E
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F
สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

เพาเวอร์เซต
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)
ตัวอย่างที่ 1 A = Ø
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
P(A) = {Ø }
ตัวอย่างที่ 2 B = {1}
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
P(B) = {Ø, {1} }
ตัวอย่างที่ 3 C = {1,2}
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

การเขียนแผนภาพแทนเซต
      ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
      เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)
ยูเนียน (Union)
บทนิยาม
      เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
A ∪ B = {1,2,3,4,5}
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม
      เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
A ∩ B = {3}
คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม
      ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'
ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
A' = {4,5}
ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม
      ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
A - B = {1,2}


ที่:www.thaigoodview.com/library /contest2551/math04/.../set.html





สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
    
สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
 
สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
    5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
     6. สมบัติการแจกแจง
               a( b + c ) = ab + ac
               ( b + c )a = ba + ca
     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
   
ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
  เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
  ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
  ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
   
ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
  เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
  ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
  ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
   
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
  a · 0 = 0
  0 · a = 0
   
ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
  (-1)a = -a
  a(-1) = -a
   
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
  ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
   
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
  a(-b) = -ab
  (-a)b = -ab
  (-a)(-b) = ab
   
      เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
   
• การลบจำนวนจริง
   
บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
  a- b = a + (-b)
  นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
   
• การหารจำนวนจริง
   
บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
 
= a(b-1)
 
นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b
 ที่มา:www.thaigoodview.com/library/contest2551/.../2/.../real_opt.htm

บทประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1)  ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน  (Maximum  and minimum values  of   function)
นิยาม  ฟังก์ชัน f  มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ  ที่  x = c
        ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในช่วงเปิดนี้
                        high3.jpg
 ถ้า  f '(x) >0   เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่   f '(x) < 0  เมื่อ x  มากกว่า c เล็กน้อย
 แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  ที่ x  =  c   และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ   f(c)
นิยาม    ฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์   ณ   ที่     x   =   c
 ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x   ในช่วงเปิดนี้    
                    low3.jpg
ถ้า f '(x)<0  เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
 แล้วฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = c   และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ  f(c)
นิยาม    ถ้า  c   เป็นจำนวนในโดเมนของฟังก์ชัน   f    และถ้า   f ' (c)   =   0
                                                          หรือ   f ' (c)   หาค่าไม่ได้
 จะเรียก c  ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  f  และจุด   (c , f(c) )
               บนกราฟของ   f   ถูกเรียกว่า   จุดวิกฤตของกราฟของ   f  
 เมื่อทราบว่า  f ' (c)  = 0   แสดงว่า  c  เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  ให้ระวังดังนี้
1.   c   อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  
                   high2.jpg
 ถ้ากราฟเป็นรูปคว่ำลง แล้ว f '' (x) < 0   แสดงว่า  f ''(c) < 0   ด้วย
2.   c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  
                   low2.jpg
 ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้น  แล้ว f '' (x) >  0 แสดงว่า  f ''(c) > 0  ด้วย
  3.  c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์    เช่น       
slope2.jpg   slope1.jpg                     
  
            

  

 
ตัวอย่าง กำหนดให้  f(x)  =   อยากทราบว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ใด  และมีค่าเท่าใด
                 f (x)      =      
                 f '(x)     =    
   ให้        =    0    จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน   x  =  
  ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์     
             f ' '(x)  =      =    -12 x
   นำค่าวิกฤตของฟังก์ชัน    x =      แทนค่าใน     f ' '(x)  
 จะได้     f ' '(   )    =       <    0
และ   f ' '(    )    =       >    0  
     แสดงว่าที่   x   =         จะเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
  ดังนั้นฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ที่    x    =    
 ฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์      =      f ( )
                                  =         =   

ตัวอย่าง  กำหนดให้  f(x)  =     แล้ว อยากทราบว่าที่จุด  x  =  2
           จะทำให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร
               จาก         f(x)      =      
                                   f ' (x)     =     
 แทนค่า   x    =   2     ใน   f ' (x)  
        จะได้      f ' (2)     =           =   0
              แสดงว่า     x    =   2     เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
  ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์   
     f ' ' (x)       =    
     แทนค่า   x    =   2   ใน   f ' ' (x)  
                 f ' ' (2)     =      =    48    มีค่ามากกว่า    0
           แสดงว่าที่     x    =   2     จะเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
 ฟังก์ชันมีค่า ต่ำสุดสัมพัทธ์ =  f(2)  =  =  - 15                                                      
        
 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
  ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น
  กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น
นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น
  กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น
นิยาม     f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f
  และถ้า   f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในโดเมนของ   f
นิยาม     f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f
  และถ้า   f (c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในโดเมนของ   f
 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าสูงสุดจริง ๆ              ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าต่ำสุดจริง ๆ
หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย  ค่าสูงสุดมักจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดมักจะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
การกำหนดค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องf ช่วงปิด [a,b]           มีขั้นตอนดังนี้
        1.   หาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตของ   f   บนช่วงปิด    [a , b]
        2.   หาค่า   f(a)   และ    f(b)
        3.   ค่ามากที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
              ค่าน้อยที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
 บทประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด                                                           
หลักการพิจารณาหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด
1.  อ่านโจทย์ให้ละเอียด   ค้นหาปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
      แล้วสมมุติให้เป็น   y   เป็นตัวปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
2.   สมมุติให้  x เป็นตัวเปลี่ยนต้นที่แทนปริมาณที่ทำให้  y  เปลี่ยนแปลง
3.  ให้สถานการณ์ได้ว่า    y   =   f(x)
4.  ดำเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
     4.1 การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้   และ  เข้าช่วย
               -  หา     
              -   ให้        =   0    แก้สมการ
                   หาค่า  x  สมมุติให้   x   =  c  "ค่าวิกฤต"   ตรวจสอบต่อดังนี้
    ถ้า     /  x  =  c   <   0   (c, f(c) )
    เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  =   f (c)
    ถ้า     /  x  =  c   >  0  (c, f(c) )
    เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  =   f (c)
    4.2   หาค่าสูงสุดสัมพัทธและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  โดยใช้กราฟ

ตัวอย่าง  สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีพื้นที่  2700  ตารางเมตร   ต้องการล้อมรั้ว
โดยรอบและ รั้วแบ่งครึ่งสนาม    ซึ่งรั้วสำหรับแบ่งครึ่งสนามราคาเมตรละ 80   บาท
ส่วนรั้วโดยรอบ สนามราคาเมตรละ 120 บาท จงหาขนาดของสนามซึ่งจะเสียค่ารั้ว
น้อยที่สุด
 วิธีทำ   ให้สนามยาว   x  เมตร          และกว้าง    y   เมตร
         ให้ค่าทำรั้วทั้งหมดเป็น     f(x)
 ดังนั้น     f(x)    =    120 ( 2 x + 2 y )  +   80  y    
                     =     240 x  +  320 y
   แต่พื้นที่สนามทั้งหมดเท่ากับ    2700    ตารางเมตร
   เพราะฉะนั้น           x y       =         2700
                             y       =         
  นั่นคือ                   f(x)    =        240 x  +  320  
     x  ต้องอยู่ในช่วง  ( 0 ,  + )    และ  f ต่อเนื่องตลอดช่วงนี้
        f '(x)      =        240   -   
   ให้    f '(x)     =           0     
    240   -        =           0
           =           0
                                =          3600
                      x          =         60
ดังนั้น  60   เป็นค่าวิกฤตของ  f
ใช้อนุพันธ์อันดับ  2   ทดสอบว่า    f(60)     เป็นค่าต่ำสุดหรือไม่
   f '' (x)   =         ซึ่งมีค่ามากกว่า      0
แสดงว่า  f(60)
 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ  f ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน  (0, )
เพราะว่าสนามมีพื้นที่เท่ากับ   x y    =    2700
                           ถ้า    x   =   60     จะได้    y    =    45
 ดังนั้นสนามจะต้องกว้าง 45  เมตร ยาว 60  เมตร  จึงจะเสียค่ารั้วน้อยที่สุด
ตัวอย่าง  ถังเปิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส   และมีปริมาตร125  ล.บ.เมตร
ค่าวัสดุที่ใช้ ทำก้นถังตารางเมตรละ160 บาท  และวัสดุสำหรับด้านข้างตารางเมตรละ 80 บาท
จงหาขนาดของถังที่มีความจุเท่าเดิมแต่เสียค่าวัสดุน้อยที่สุด
วิธีทำ     ให้ถังมีฐานยาวด้านละ     x       เมตร
            ถังมีความสูง             y       เมตร
         ถังนี้มีปริมาตร       =       = 125    ล.บ.เมตร ...........(1)
ให้    f(x)     เป็นค่าวัสดุที่ใช้ทำถัง
      f(x)   =  
              =  
  จาก (1)     ได้       y       =      
                    f(x)         =      
 โดเมนของ    f      คือ    ( 0 ,   )
                     f ' (x)      =       
  เมื่อ      x   =    0     เราหาค่า      f ' (x)    ไม่ได้
     แต่    x    =    ไม่อยู่ในโดเมนของ   f  
  ให้                     f '(x)    =     0
            =      0
           =      0
                                   =     125
                         x           =       5
 ดังนั้น        5   เป็นค่าวิกฤตของ       f
 ใช้อนุพันธ์อันดับ   2   ทดสอบว่า f(5)    เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่
   f ' ' (x)         =              ซึ่งมีค่ามากกว่า    0
 แสดงว่า  f(5) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ  f   ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน (0 , )
  เพราะว่า  ปริมาตรของถังคือ                  =   125
             ถ้า   x  =    5    จะได้      y     =     5
    ดังนั้นจะต้องทำถังซึ่งมีฐานจัตุรัสด้านละ   5  เมตร    และสูง    5   เมตร
        จึงจะได้ถังมีปริมาตรตามต้องการและเสียค่าวัสดุน้อยที่สุด
ที่มา:www.thaigoodview.com/library/teachershow/.../2-diff_use1.htm