วันอังคารที่ 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

เลขยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป an ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลังn การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n
คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน
a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n
โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a2 จะเรียกว่า square และ a3 เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น
เลขยกกำลัง an อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน an สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น
กราฟของสมการ y = ax ในฐาน a ต่าง ๆ: ฐาน 10 (สีเขียว), ฐาน e(สีแดง), ฐาน 2 (สีน้ำเงิน), และฐาน ½ (สีฟ้า) เส้นโค้งแต่ละเส้นผ่านจุด (0,1) เนื่องจากจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 และที่x = 1 ค่าของ y จะเท่ากับฐาน เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้จำนวนเดิม


การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของ
พีชคณิตมูลฐานเท่านั้น[แก้]
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม


เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

นิพจน์ a2 = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับa2 ตารางหน่วย
นิพจน์ a3 = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a3ลูกบาศก์หน่วย
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด an+1 = a·an โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a1 = a

[แก้]เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1

เนื่องจาก a1 หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a
จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง an − 1 = an/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a0 = 1
หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ nm, และ nm เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์
 \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}
ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น
 1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0
เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a0 = 1 นำไปสู่กฎสองประการ
  • จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
  • จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 00 ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0


ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง nm จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของm สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว
05 = │ {} │ = 0ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8  มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
50 = │ { () } │ = 1มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว
ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต


เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ
a^{-1} = \frac{1}{a}
จึงสามารถนิยามว่า
a^{-n} = (a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n}
เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม
นิยามของ an สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ aman = am+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้
a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1
เมื่อ a0 ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม an = 1/an ดังที่ได้กล่าวแล้ว
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น
3^{-4} = (((1/3)/3)/3)/3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}
ที่มา: th.wikipedia.org/wiki/การยกกำลัง

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น