นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้ f(c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงเปิดนี้
ถ้า f '(x) >0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่ f '(x) < 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = c และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ f(c)
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ณ ที่ x = c
ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้ f(c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงเปิดนี้ 
ถ้า f '(x)<0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
แล้วฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = c และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ f(c)
นิยาม ถ้า c เป็นจำนวนในโดเมนของฟังก์ชัน f และถ้า f ' (c) = 0
หรือ f ' (c) หาค่าไม่ได้
จะเรียก c ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f และจุด (c , f(c) )
บนกราฟของ f ถูกเรียกว่า จุดวิกฤตของกราฟของ f
เมื่อทราบว่า f ' (c) = 0 แสดงว่า c เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน ให้ระวังดังนี้
1. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ถ้ากราฟเป็นรูปคว่ำลง แล้ว f '' (x) < 0 แสดงว่า f ''(c) < 0 ด้วย
2. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้น แล้ว f '' (x) > 0 แสดงว่า f ''(c) > 0 ด้วย
3. c อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เช่น
อยากทราบว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ใด และมีค่าเท่าใด f (x) =
f '(x) =
ให้
= 0 จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x = 
ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' '(x) =
= -12 xนำค่าวิกฤตของฟังก์ชัน x =
แทนค่าใน f ' '(x) จะได้ f ' '(
) = 
< 0และ f ' '(
) = 
> 0 แสดงว่าที่ x =
จะเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ดังนั้นฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ที่ x =
ฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ = f (
) =
= 
ตัวอย่าง กำหนดให้ f(x) = 
แล้ว อยากทราบว่าที่จุด x = 2
จะทำให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร
แล้ว อยากทราบว่าที่จุด x = 2 จะทำให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร
จาก f(x) = 
f ' (x) =
f ' (x) =
แทนค่า x = 2 ใน f ' (x)
จะได้ f ' (2) =
= 0
แสดงว่า x = 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
จะได้ f ' (2) =
= 0แสดงว่า x = 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f ' ' (x) =
แทนค่า x = 2 ใน f ' ' (x)
f ' ' (2) =
= 48 มีค่ามากกว่า 0
แสดงว่าที่ x = 2 จะเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
f ' ' (x) =
แทนค่า x = 2 ใน f ' ' (x)
f ' ' (2) =
= 48 มีค่ามากกว่า 0แสดงว่าที่ x = 2 จะเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ฟังก์ชันมีค่า ต่ำสุดสัมพัทธ์ = f(2) = 
= - 15
= - 15 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด ถ้ามีจำนวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงนั้น กรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
ถ้ามีจำนวน c ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง f(c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในช่วงนั้นกรณีเช่นนี้ f(c) เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วงนั้น
นิยาม f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมนของ f
และถ้า f(c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f นิยาม f(c) เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน f ถ้า c อยู่ในโดเมนของ f
และถ้า f (c)
f(x) สำหรับทุก ๆ ค่า x ในโดเมนของ f ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ ค่าสูงสุดจริง ๆ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ ค่าต่ำสุดจริง ๆ
หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย ค่าสูงสุดมักจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดมักจะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
1. หาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตของ f บนช่วงปิด [a , b]
2. หาค่า f(a) และ f(b)
3. ค่ามากที่สุดจากข้อที่ 1 และข้อที่ 2 เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
ค่าน้อยที่สุดจากข้อที่ 1 และข้อที่ 2 เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
บทประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
หลักการพิจารณาหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด1. อ่านโจทย์ให้ละเอียด ค้นหาปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
แล้วสมมุติให้เป็น y เป็นตัวปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
2. สมมุติให้ x เป็นตัวเปลี่ยนต้นที่แทนปริมาณที่ทำให้ y เปลี่ยนแปลง
3. ให้สถานการณ์ได้ว่า y = f(x)
4. ดำเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
4.1 การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้
และ 
เข้าช่วย- หา
- ให้
= 0 แก้สมการ หาค่า x สมมุติให้ x = c "ค่าวิกฤต" ตรวจสอบต่อดังนี้
ถ้า
/ x = c < 0 (c, f(c) ) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = f (c)
ถ้า
/ x = c > 0 (c, f(c) ) เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ = f (c)
4.2 หาค่าสูงสุดสัมพัทธและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ โดยใช้กราฟ
โดยรอบและ รั้วแบ่งครึ่งสนาม ซึ่งรั้วสำหรับแบ่งครึ่งสนามราคาเมตรละ 80 บาท
ส่วนรั้วโดยรอบ สนามราคาเมตรละ 120 บาท จงหาขนาดของสนามซึ่งจะเสียค่ารั้ว
น้อยที่สุด
วิธีทำ ให้สนามยาว x เมตร และกว้าง y เมตร
ให้ค่าทำรั้วทั้งหมดเป็น f(x)
ดังนั้น f(x) = 120 ( 2 x + 2 y ) + 80 y
= 240 x + 320 y
แต่พื้นที่สนามทั้งหมดเท่ากับ 2700 ตารางเมตร
เพราะฉะนั้น x y = 2700
y =
นั่นคือ f(x) = 240 x + 320
x ต้องอยู่ในช่วง ( 0 , +
) และ f ต่อเนื่องตลอดช่วงนี้f '(x) = 240 -
ให้ f '(x) = 0
240 -
= 0
= 0
= 3600x = 60
ดังนั้น 60 เป็นค่าวิกฤตของ f
ใช้อนุพันธ์อันดับ 2 ทดสอบว่า f(60) เป็นค่าต่ำสุดหรือไม่
f '' (x) =
ซึ่งมีค่ามากกว่า 0แสดงว่า f(60)
เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน (0,
)เพราะว่าสนามมีพื้นที่เท่ากับ x y = 2700
ถ้า x = 60 จะได้ y = 45
ดังนั้นสนามจะต้องกว้าง 45 เมตร ยาว 60 เมตร จึงจะเสียค่ารั้วน้อยที่สุด
ค่าวัสดุที่ใช้ ทำก้นถังตารางเมตรละ160 บาท และวัสดุสำหรับด้านข้างตารางเมตรละ 80 บาท
จงหาขนาดของถังที่มีความจุเท่าเดิมแต่เสียค่าวัสดุน้อยที่สุด
วิธีทำ ให้ถังมีฐานยาวด้านละ x เมตร
ถังมีความสูง y เมตร
ถังนี้มีปริมาตร =
= 125 ล.บ.เมตร ...........(1)ให้ f(x) เป็นค่าวัสดุที่ใช้ทำถัง
f(x) =
=
จาก (1) ได้ y =
f(x) =
โดเมนของ f คือ ( 0 ,
)f ' (x) =
เมื่อ x = 0 เราหาค่า f ' (x) ไม่ได้
แต่ x = ไม่อยู่ในโดเมนของ f
ให้ f '(x) = 0
= 0
= 0
= 125x = 5
ดังนั้น 5 เป็นค่าวิกฤตของ f
ใช้อนุพันธ์อันดับ 2 ทดสอบว่า f(5) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่
f ' ' (x) =
ซึ่งมีค่ามากกว่า 0แสดงว่า f(5) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน (0 ,
)เพราะว่า ปริมาตรของถังคือ
= 125 ถ้า x = 5 จะได้ y = 5
ดังนั้นจะต้องทำถังซึ่งมีฐานจัตุรัสด้านละ 5 เมตร และสูง 5 เมตร
จึงจะได้ถังมีปริมาตรตามต้องการและเสียค่าวัสดุน้อยที่สุด
ที่มา:www.thaigoodview.com/library/teachershow/.../2-diff_use1.htm
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น