วันอังคารที่ 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

จำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน \mathbb{C} ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ + (การบวก) และ \cdot(การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ (a,b) และ (c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \,
(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \,
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
  • การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
  • มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0)
  • มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0)
  • อินเวอร์สการบวกของ z = (a,b) (เขียนแทนด้วย − z) คือ (-a,-b)
  • ถ้าหาก z = (a,b) \neq (0,0) อินเวอร์สการคูณของ z (เขียนแทนด้วย z − 1) คือ \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)


จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \, เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ (a,b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ (1,0) และ (0,1) กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
 (a,b) = a(1,0) + b(0,1) \,
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ (a,0) = a(1,0) ว่าเป็นจำนวนจริง a (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ i แทน (0,1) จำนวนเชิงซ้อน (a,b) จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า a + bi ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า i2 = ( − 1,0) = − 1 นั่นคือ i เป็นคำตอบของสมการ x2 + 1 = 0 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม x2 + 1 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม \mathbb{R}[x] กับไอดีล (x2 + 1) เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)


สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง


ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า z = a+bi \, เราเรียก a ว่า ส่วนจริง ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \Re(z) และเราเรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \Im(z) เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)


สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า z=a+bi\, เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z คือ a-bi\, เราเขียนแทนสังยุคของ z ด้วย \bar{z} สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
  1. \overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}
  2. \overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}
  3. z + \bar{z} = 2\Re(z)
  4. z - \bar{z} = 2\Im(z)
เมื่อ zz1z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ


ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน z=a+bi \, เขียนแทนด้วย z | คือจำนวนจริงบวก \sqrt{a^2 + b^2} เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
  1. \left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert
  2. \left|z\right\vert^2=z \bar{z}
  3. \left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert
  4. \left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert (อสมการสามเหลี่ยม)
  5. \left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|
  6. \left|z\right\vert=0 ก็ต่อเมื่อ z=0\,
เมื่อ zz1, และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง a ด้วยจำนวนเชิงซ้อน (a,0) ทำให้เราได้ว่าถ้า z \neq 0
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}


ระนาบเชิงซ้อน

Complex.png
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน z = a+bi \, คือ (a,b) ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ (r,\varphi) \, เมื่อ r = | z |และ \varphi \, เป็นมุมที่เวกเตอร์ (a,b) ทำกับแกน x ในหน่วยเรเดียน เราเรียก \varphi \, ว่า อาร์กิวเมนต์ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ arg(z) สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ  จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
z = a+bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\,
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า
r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))
และ
\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))
เมื่อ r_2 \neq 0 ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ
การคูณด้วย i = eiπ / 2 จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ i2 = − 1 ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ (0,1) ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"


สมบัติต่างๆ


การเรียงลำดับ

\mathbb{C} ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย


ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น \mathbb{C} เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน \mathbb{R} เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน \mathbb{R}  (\mathbb{R}-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
f(z) = az + b\bar{z}
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน f1(z) = a(z) เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน f_2(z) = b\bar{z} นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า f1 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน \mathbb{C} และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ f2ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์


สมบัติเชิงพีชคณิต

\mathbb{C} (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ C) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้
ด้วยเหตุนี้ \mathbb{C} จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ \mathbb{C} บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง
ีที่มา:th.wikipedia.org/wiki/จำนวนเชิงซ้อน

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น