sedsuwan: ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง

เอกลักษณ์ log(a^b) = b · log a เป็นจริงเมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกและ b เป็นจำนวนจริง แต่สำหรับกิ่งมุขสำคัญ (principal branch) ของลอการิทึมเชิงซ้อนจะได้ว่า

$i\pi = \log(-1) = \log((-i)^2) \,\neq\, 2\log(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi$
ไม่ว่ากิ่งใดของลอการิทึมจะถูกเลือก ความผิดพลาดดังกล่าวก็ยังคงมีอยู่ แนวทางที่ดีที่สุด (เมื่อต้องการใช้ผลลัพธ์เท่านั้น) คือการกำหนดให้

$\log(a^b) \equiv b \cdot \log(a) \pmod{2 \pi i}$
เอกลักษณ์นี้ก็ไม่เป็นจริงหากพิจารณาว่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหลายค่า ค่าที่เป็นไปได้ของ log(a^b) จะมีค่า b · log a เหล่านั้นเป็นเพียงเซตย่อยเซตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์ซึ่งแสดงด้วย Log(a) แทนค่ามุขสำคัญของ log(a) และ m กับ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่า

$\left\{\log(a^b)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \right\}$
$\left\{b \cdot \log(a)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n \right\}$

เอกลักษณ์ (ab)^c = a^cb^c และ (a/b)^c = a^c/b^c ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a กับ b เป็นจำนวนจริงบวกและ c เป็นจำนวนจริง แต่การคำนวณโดยใช้กิ่งมุขสำคัญแสดงให้เห็นว่า

$1 = (-1\times -1)^{1/2} \not = (-1)^{1/2}(-1)^{1/2} = -1$
และ

$i = (-1)^{1/2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^{1/2} \not = \frac{1^{1/2}}{(-1)^{1/2}} = \frac{1}{i} = -i$
ในทางตรงข้าม เมื่อ c เป็นจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้จะใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน
ถ้าการยกกำลังถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ (−1×−1)^1/2 คือ {1, −1} เอกลักษณ์ยังคงเป็นจริง แต่การกล่าวว่า {1} = {(−1×−1)^1/2} นั้นผิด

เอกลักษณ์ (e^a)^b = e^ab เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง a และ b แต่การสมมติให้เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่ปฏิทรรศน์ต่อไปนี้ ซึ่งค้นพบโดยโทมัส คลาวเซน (Thomas Clausen) เมื่อ ค.ศ. 1827
สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ จะได้ว่า
1. $e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e \,$
2. $\left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e \,$
3. $e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e \,$
4. $e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e \,$
5. $e^{-4 \pi^2 n^2} = 1 \,$
แต่สิ่งนี้เป็นเท็จเมื่อจำนวนเต็ม n ไม่เท่ากับศูนย์
การให้เหตุผลดังกล่าวมีปัญหาเกิดขึ้นหลายปัญหา ความผิดพลาดหลักคือการเปลี่ยนอันดับของการยกกำลัง จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม ได้เปลี่ยนค่ามุขสำคัญที่จะถูกเลือกใช้
จากมุมมองของฟังก์ชันหลายค่า ความผิดพลาดอย่างแรกเกิดขึ้นก่อนหน้านั้นซึ่งเห็นได้โดยปริยายจากบรรทัดแรกแต่ไม่เด่นชัด คือ e เป็นจำนวนจริงในขณะที่ผลลัพธ์ของ e^1+2πin เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งควรเขียนแทนด้วย e+0i มากกว่า การแทนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับจำนวนจริงในบรรทัดที่สอง ทำให้การยกกำลังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายค่า การเปลี่ยนอันดับของการยกกำลังจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม จึงส่งผลต่อค่าที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ว่ามีเป็นจำนวนเท่าใดด้วย

0 ยกกำลัง 0

กราฟของ z = abs(x)^y ซึ่งเส้นโค้งสีแดงมีลิมิตต่างกันเมื่อ (x,y) มีค่าเข้าใกล้ (0,0) ในขณะที่เส้นโค้งสีเขียวทุกเส้นมีลิมิตเท่ากับ 1

ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 0⁰ ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 0⁰ หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)

ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0⁰ คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น

การพิจารณา a⁰ ให้เป็นผลคูณว่างซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า a จะเท่ากับ 0
การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 0⁰ คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว
ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 0⁰ คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ ฟังก์ชันว่าง (empty function)
สัญกรณ์ $\textstyle \sum a_nx^n$ สำหรับพหุนามและอนุกรมกำลังขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 0⁰ = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ และ $e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ และทฤษฎีบททวินาม $(1+x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k$ จะใช้งานไม่ได้เมื่อ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 0⁰= 1
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กฎการยกกำลัง $\textstyle\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ จะใช้ไม่ได้สำหรับ n = 1 ที่ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 0⁰ = 1

ในทางตรงข้าม เมื่อ 0⁰ เกิดจากลิมิตในรูปแบบ $\lim_{(x,y)\rarr(0,0)} x^y$ ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)

ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด หาก f(t) และ g(t) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ f(t) > 0 แล้วฟังก์ชัน f(t)^g(t) ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ f(t)^g(t) อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ f และ g ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบf(t)^g(t) ซึ่ง f(t),g(t) → 0 เมื่อ t → 0⁺ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้ $\lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}$
ดังนั้น 0⁰ จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร x^y แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต {(x,y): x > 0} ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตใด ๆ ที่รวม (0,0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 0⁰ จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ f กับ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) ทั้งคู่และ f ไม่เป็นลบ ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ

ในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน z^w ถูกนิยามขึ้นสำหรับ z ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log z และกำหนดให้ z^w := e^w log z แต่ไม่มีกิ่งของ log z ที่นิยามไว้สำหรับ z เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม

มุมมองที่แตกต่างในอดีต

ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น

กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 0⁰ ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา
เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 0⁰ หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง"
อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 0⁰ ควรจะเท่ากับ 1 คนูธบอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 0⁰ ให้เป็น รูปแบบลิมิต ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 0⁰ ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก"

การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 0⁰ = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 0⁰ พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น $\tfrac{ 0 } { 0 }$ ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 0⁰ = 1 กล่าวคือ การอ้างว่า $\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1$ เมื่อใดก็ตามที่ $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0$ เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (e^−1/t)^t ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 0⁰ ไม่ควรนิยาม

การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์

มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE

มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้

pow ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ pown หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ powr (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)
pown ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น pown(−3,5) ให้ผลลัพธ์ −243
powr ให้ค่า 0⁰ เป็น NaN (ไม่ใช่จำนวน คือไม่นิยาม) ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็น NaN ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น powr(−3,2) ค่าของมันนิยามขึ้นจาก e^{เลขชี้กำลัง×log(ฐาน)}

ภาษาโปรแกรม

ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 0⁰ เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative) มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้ System.Math.Pow ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 เช่นกัน

ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์

เซจ ลดรูป a⁰ เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข ไม่ลดรูป 0^a และให้ค่า 0⁰ เป็น 1
เมเพิล ลดรูป a⁰ เป็น 1 และ 0^a เป็น 0 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข (แต่รูปแบบอย่างหลังสามารถใช้งานได้เฉพาะเมื่อกำหนดค่า a > 0) และให้ค่า 0⁰ เป็น 1
แมกซิมา ก็ลดรูป a⁰ เป็น 1 และ 0^a เป็น 0 ด้วยเช่นกัน ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 0⁰
แมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟา ลดรูป a⁰ เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0^a ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 0⁰ เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด

หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ a

ลิมิตของการยกกำลัง

หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 0⁰ ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร x^y ไม่มีลิมิตที่จุด (0,0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง

เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน f(x,y) = x^y ที่นิยามบนโดเมน D = {(x,y) ∈ R² : x > 0} ดังนั้น D อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ R² (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ซึ่ง x,y อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย R = [−∞, +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน f มีลิมิต

โดยข้อเท็จจริง f จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ D ยกเว้น (0,0), (+∞,0), (1,+∞) และ (1,−∞) ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง x^y ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเว้น 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ และ 1^−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด

ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้

a^+∞ = +∞ และ a^−∞ = 0 เมื่อ 1 < a ≤ +∞
a^+∞ = 0 และ a^−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ a < 1
0^b = 0 และ (+∞)^b = +∞ เมื่อ 0 < b ≤ +∞
0^b = +∞ และ (+∞)^b = 0 เมื่อ −∞ ≤ b < 0

กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ x^y สำหรับค่า x ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม x^y เมื่อ x < 0 เพราะคู่อันดับ (x,y) ต่าง ๆ ที่ x < 0 ไม่ใช่จุดสะสมของ D

ในอีกทางหนึ่ง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม การยกกำลัง xⁿ มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ x ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0ⁿ = +∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า n ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ tⁿ → +∞ เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ

การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ

วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ aⁿ คือการคูณเป็นจำนวน n−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2¹⁰⁰ แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้

2² = 4
(2²)² = 2⁴ = 16
(2⁴)² = 2⁸ = 256
(2⁸)² = 2¹⁶ = 65,536
(2¹⁶)² = 2³² = 4,294,967,296
(2³²)² = 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616
2⁶⁴ 2³² 2⁴ = 2¹⁰⁰ = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง

จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ aⁿ โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ Θ(log n) โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ น้อยที่สุด ของ aⁿ (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย

สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน

การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน(function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น f³(x) จึงอาจหมายถึง f(f(f(x))) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f⁻¹(x) ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของf; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน f^1/2(x)

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin²x เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin x)²โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin⁻¹x หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin x เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ ก็คือ csc x เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log²x หมายถึง (log x)²ไม่ใช่ log log x

การวางนัยทั่วไป

พีชคณิตนามธรรม

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม

กำหนดให้ X เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้วxⁿ ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ x จำนวน n ตัว สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของ X และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า

$x^1=x\;$

$x^n=x^{n-1}x; \quad\hbox{for }n>1$

จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

$(x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k)\;$ (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)
$x^{m+n} = x^m x^n\;$
$(x^m)^n = x^{mn}\;$

ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย e) ดังนั้น x⁰ จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า x ใด ๆ

$x^0 = 1\;$

$x1 = 1x = x\;$

(เอกลักษณ์สองด้าน)

ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ x สามารถแสดงได้ด้วย x⁻¹ และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง

$x x^{-1} = x^{-1} x = 1\;$ (ตัวผกผันสองด้าน)
$(x y) z = x (y z)\;$ (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)
$x^{-n} = \left( x^{-1} \right)^n\;$
$x^{m-n} = x^m x^{-n}\;$

ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย

$(xy)^n = x^n y^n\;$

ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ

เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ x^∗n หมายถึง x ∗ ··· ∗ x หรือ x^#n หมายถึง x # ··· # x ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม

สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ g^h = h⁻¹gh เมื่อ g และ h เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก

เซต

ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติและ A เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ Aⁿ มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ n สิ่งอันดับของสมาชิกของ A สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ Aⁿหมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0, 1, 2, ..., n−1} ไปยัง A; n สิ่งอันดับ (a₀, a₁, a₂, ..., a_n−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก i ไปยัง a_i

กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต A เซตหนึ่ง สัญกรณ์ A^κ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง Aบางครั้งก็เขียนในรูปแบบ ^κA เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้นเราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า

$\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i}$

เมื่อ V_i แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า V_i = V สำหรับแต่ละค่า i แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็นV^⊕N หรือเขียนเพียงแค่ V^N โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ n เพื่อให้ได้ Vⁿ แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น n สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา V มาเป็นฟีลด์ Rสำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ n เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด Rⁿ

ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น n สิ่งอันดับ (n-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น S^N จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก N ไปยัง S ในกรณีนี้

$S^N \equiv \{ f\colon N \to S \}$

สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |S^N| = |S|^|N| เมื่อ |X| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ X; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0,1} เราจะได้ |2^X| = 2^|X| เมื่อ 2^X ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P(X) คือเซตกำลังของ X; เซตย่อย Y แต่ละเซตของ X สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน X ที่ให้ค่า 1 สำหรับ x ∈ Y และค่า 0 สำหรับ x ∉ Y

ทฤษฎีประเภท

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็น อ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 0⁰ จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ

จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน

กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ^λ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2³

การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์(transfinite induction)

ที่มา:th.wikipedia.org/wiki/การยกกำลัง

sedsuwan

วันอังคารที่ 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม